Prozentrechnung erklärt: Prozentuale Veränderung, Prozentpunkte, gestaffelte Rabatte und Mehrwertsteuer
Wie stark ist der Umsatz gewachsen? Was kostet es im Sale? Ist der Zins um ein Prozent oder einen Prozentpunkt gestiegen? Prozentrechnung wirkt einfach, doch der falsche Grundwert ändert das Ergebnis.
Vier Grundformeln
Ein Prozentsatz ist ein Verhältnis, ausgedrückt in Hundertsteln. Jede Prozentrechnung läuft darauf hinaus, den richtigen Grundwert (den Nenner) zu wählen, und die meisten Alltagsfälle passen zu einer dieser vier Formeln.
① Wie viel sind B % von A? A × B ÷ 100 (15 % von 80.000 = 12.000)
② A ist wie viel % von B? A ÷ B × 100 (12 ÷ 48 × 100 = 25 %)
③ Veränderung von A zu B (B − A) ÷ A × 100 (200 → 250 = +25 %)
④ A um B % erhöht/verringert A × (1 ± B ÷ 100) (50.000 + 20 % = 60.000)Anderer Grundwert, anderes Ergebnis
100 plus 50 % ergibt 150. Aber 150 minus 50 % ergibt 75, nicht 100, denn der Grundwert der Senkung ist 150. Ebenso muss eine Aktie, die 50 % verloren hat, um 100 % steigen, nicht um 50 %, um sich zu erholen.
Wenn Sie Wachstum angeben, teilen Sie immer durch den früheren Wert: Das Wachstum gegenüber dem Vorjahr ist (dieses Jahr − Vorjahr) ÷ Vorjahr. Wer durch den aktuellen Wert teilt, unterschätzt das Wachstum.
Prozent oder Prozentpunkte
Steigt ein Zinssatz von 2 % auf 3 %, ist er um einen Prozentpunkt gestiegen. In Prozent ausgedrückt beträgt der Anstieg (3 − 2) ÷ 2 × 100 = 50 %.
Die Unterscheidung ist bei jeder Kennzahl wichtig, die bereits in Prozent angegeben wird — Zustimmungswerte, Arbeitslosenquote, Zinsen, Konversionsraten. Wer eine Konversionsrate, die von 4 % auf 5 % steigt, als „um 1 % verbessert“ bezeichnet, untertreibt eine tatsächliche Verbesserung um 25 %.
Gestaffelte Rabatte: 20 % + 10 % sind keine 30 %
20 % Rabatt auf einen Artikel für 100.000 ergeben 80.000. Ein zusätzlicher 10-%-Gutschein gilt für die reduzierten 80.000, nicht für den Originalpreis, und ergibt 72.000. Der Gesamtrabatt beträgt 28 %, nicht 30 %.
Allgemein gilt: Endpreis = Listenpreis × (1 − a) × (1 − b), Gesamtrabatt = 1 − (1 − a)(1 − b). Die Reihenfolge spielt keine Rolle, aber Werbeaussagen wie „bis zu 30 % Rabatt“ sollten zur tatsächlichen Rechnung passen.
Rückwärts rechnen: Ursprungspreise und Mehrwertsteuer
Sind 72.000 der Preis nach 20 % Rabatt, lag der Ursprungspreis bei 72.000 ÷ 0,8 = 90.000. 20 % auf 72.000 aufzuschlagen (86.400) ist ein häufiger Fehler: Grundwert des Rabatts war der Ursprungspreis, also muss man dividieren.
In Deutschland beträgt der reguläre Mehrwertsteuersatz 19 %. Um einen Bruttopreis von 119 € in Netto und Steuer aufzuteilen, teilen Sie durch 1,19: 100 € netto und 19 € Mehrwertsteuer. 19 % von 119 € (22,61 €) abzuziehen und 96,39 € zu erhalten, ist falsch. Für den ermäßigten Satz von 7 % teilen Sie entsprechend durch 1,07.
Prozente im Geschäftsalltag
Der Prozentrechner von AIBIZAP erledigt die Grundfälle sofort; bei mehrstufigen Rechnungen geben Sie die ganze Formel in den Schritt-für-Schritt-Rechner ein und sehen jedes Zwischenergebnis.
- Handelsspanne und Kalkulationsaufschlag: Bei Kosten von 7.000 und einem Preis von 10.000 beträgt die Spanne (Gewinn ÷ Preis) 30 % und der Aufschlag (Gewinn ÷ Kosten) etwa 42,9 %. Wer beides verwechselt, kalkuliert falsch.
- Zielerreichung: Ist ÷ Ziel × 100. 96 bei einem Ziel von 120 sind 80 %.
- Anteil: Teil ÷ Ganzes × 100. Gerundete Anteile können sich auf 100,1 % oder 99,9 % summieren.
- Durchschnittliche jährliche Wachstumsrate: Bilden Sie nicht den Mittelwert der Jahreswachstumsraten, sondern rechnen Sie (Endwert ÷ Anfangswert)^(1 ÷ Jahre) − 1.